☛ Étude complète d'une fonction

Énoncé

On considère la fonction \(f\)  définie par \(f(x)=\ln(2x-6)-x\) .

1. Déterminer l'ensemble de définition \(I\)  de la fonction \(f\) .
2. Déterminer la limite de la fonction \(f\)  en \(3\) .
On admet que \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty\) .
3. Étudier les variations de la fonction \(f\)  sur \(I\) .
4. Dresser le tableau complet des variations de \(f\)  sur \(I\) .

Solution
1. \(f(x)\)  existe si et seulement si \(2x-6>0\) .
\(2x-6>0 \Leftrightarrow x>3\) .
L'ensemble de définition de la fonction \(f\)  est \(I=]3~;+\infty[\) .

2. \(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}2x-6=0^+\)  et \(\lim\limits_{\substack{X \to 0\\ X>0}}\ln(X)=-\infty\) donc par composée \(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}\ln(2x-6)=-\infty\) .
\(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}-x=-3\)  donc par somme \(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}f(x)=-\infty\) .

3. \(f\)  est dérivable sur \(I\)  et, pour tout réel \(x \in I\) ,
\(f'(x)=\dfrac{2}{2x-6}-1\)
\(f'(x)=\dfrac{2}{2x-6}-\dfrac{2x-6}{2x-6}\)
\(f'(x)=\dfrac{2-2x+6}{2x-6}\)
\(f'(x)=\dfrac{8-2x}{2x-6}\)
Pour tout réel \(x \in I,\ 2x-6>0\)  donc \(f'(x)\)  est du signe de \(8-2x\) .
\(8-2x=0 \Leftrightarrow x=4\) .

\(f\)  est croissante sur \(]3~;~4]\)  et décroissante sur \([4~;+\infty[\) .

4. Le tableau de variations de  \(f\)  est le suivant.